【題目】在如圖所示的四棱錐
中，四邊形
為正方形，
，
平面
，且
、
、
分別為
、
、
的中點，
.
⑴證明：
平面
；
⑵若
，求二面角
的余弦值.
【答案】⑴證明見解析；⑵
.
【解析】
試題分析：⑴做輔助線，由
為
中點，
為
中點
.又
為
中點，又
，
為
中點
平面
；⑵由
平面
，又
平面
.以
為坐標原點，
，
，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標系，求出平面
的一個法向量
，平面
的法向量為
. 由圖可知，二面角
為鈍角二面角
的余弦值為.
試題解析：⑴證明：連結
，分別交
、
于點
、
，連結
、
，
∵為中點，為中點，∴.……………………2分
又，∴為中點，又，，∴為中點，
∴，∴.……………………………………4分
∵
平面
，
平面
，
∴平面.………………………………5分
⑵解：∵平面，∴，又，
，
∴平面.……………………………………6分
如圖 ，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則
，
則
，
，………………………………7分
∵
平面
，∴平面的一個法向量.…………8分
設平面的法向量為
，
則
，即
，…………………………9分
令
，則
，
，∴，…………10分
∴.……………………………………11分
由圖可知，二面角為鈍角，
∴二面角的余弦值為.……………………………………12分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區2008年至2014年中，每年的居民人均純收入y（單位：千元）的數據如下表：
年 份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.7 | 3.6 | 3.3 | 4.6 | 5.4 | 5.7 | 6.2 |
對變量t與y進行相關性檢驗，得知t與y之間具有線性相關關系．
（1）求y關于t的線性回歸方程；
（2）預測該地區2017年的居民人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于x的二次函數f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.
(1)求證：對于任意t∈R，方程f(x)＝1必有實數根；
(2)若
<t<
，求證：方程f(x)＝0在區間(－1，0)及
內各有一個實數根．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩家商場對同一種商品展開促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下：
甲商場：顧客轉動如圖所示轉盤，當指針指向陰影部分（圖中兩個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為
，邊界忽略不計）即為中獎．
乙商場：從裝有4個白球，4個紅球和4個籃球的盒子中一次性摸出3球（這些球初顏色外完全相同），如果摸到的是3個不同顏色的球，即為中獎．
（Ⅰ）試問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？說明理由；
（Ⅱ）記在乙商場購買該商品的顧客摸到籃球的個數為
，求的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀：
已知
、
，
，求
的最小值.
解法如下：
，
當且僅當
，即
時取到等號，
則的最小值為
.
應用上述解法，求解下列問題：
（1）已知
，
，求
的最小值；
（2）已知
，求函數
的最小值；
（3）已知正數
、
、
，
，
求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知全集U=R,集合A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求:(1)A∩B;(2)A∪B;(3)A∪(UB);(4)B∩(UA);(5)(UA)∩(UB).
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過5噸時，每噸為
元，當用水超過5噸時，超過部分每噸4元。某月甲、乙兩戶共交水費
元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為
噸。
(1)求
關于
的函數。
(2)若甲、乙兩戶該月共交水費
元，分別求甲、乙兩戶該月的用水量和水費。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司生產一種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產一臺儀器需要增加投入100元，已知總收益滿足函數：R(x)＝
其中x是儀器的月產量．當月產量為何值時，公司所獲得利潤最大？最大利潤是多少？
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