Question

【題目】如圖所示，在棱長為2的正方體中， 分別為和的中點.

(1)求證： 平面；

(2)在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) =

【解析】試題分析：（1）分別以所在的直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，面的一個法向量是，由即可證得；
（2）設點求解平面的一個法向量為，平面的一個法向量利用平面的法向量的夾角與二面角的大小之間的關系建立方程求解即可．

試題解析：

(1)證明：如圖所示，分別以所在的直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，由已知得， ， ， ， ， ， ， ，

∵平面的一個法向量是，

又∵，

∴，

∴，而平面，

∴平面.

(2)解：設點，

平面的一個法向量為，

則，∵， ，

∴，取，則， ，∴，

平面的一個法向量，

依題意知， 或，

∴，即，解得或 (舍)，

∵，

∴在棱上存在一點，當的長為時，二面角的大小為.