Question

（2010•邯鄲二模）已知向量

a

=(

1

2

cosx，

3

sinx)，

b

=(4cosx，2cosx)，函數f(x)=

a

•

b

+k(k∈R)
（Ⅰ）求f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）若x∈[0，π]時，f（x）的最大值為4，求k的值．

Answer 1

分析：直接利用向量的數量積求出函數的表達式，通過二倍角公式與兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，
（Ⅰ）利用正弦函數的單調增區間，求出函數的單調增區間即可．
（Ⅱ）結合x的范圍，求出2x+

π

6

的范圍，然后利用函數的最大值，求出k的值即可．

解答：解：由

a

=(

1

2

cosx，

3

sinx)，

b

=(4cosx，2cosx)，
f(x)=

a

•

b

+k=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x+k=2sin（2x+

π

6

）+1+k．
（Ⅰ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
從而可得函數的單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）由x∈[0，π]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]，
故sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
f（x）的最大值為4，所以1+1+k=4，
所以k=2．

點評：本題考查向量的數量積，二倍角公式兩角和的正弦函數，三角函數的基本性質，考查計算能力．