Question

【題目】已知函數為奇函數, 為常數.

（1）確定的值；

（2）求證： 是上的增函數；

（3）若對于區間上的每一個值，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：

（1）由是奇函數可得，從而，整理得，比較系數得，驗證得不合題意，故。（2）設，做差比較可得，故，即，證得結論成立。（3）分離參數得在上恒成立，設，根據單調性求得，從而可得結論。

試題解析：

（1）∵函數是奇函數，

，

即

∴，

整理得，

∴，

解得，

當時， ，不合題意舍去，

∴。

（2）由（1）可得，

設，

則，

∵,

∴

∴,

∴,

∴，即.

∴是上的增函數.

（3）依題意得在上恒成立，

設， ，

由（2）知函數在上單調遞增，

∴當，

所以.

故實數的取值范圍為.