Question

【題目】銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且tanA﹣tanB= （1+tanAtanB）． （Ⅰ）若c2=a2+b2﹣ab，求角A、B、C的大小；
（Ⅱ）已知向量 =（sinA，cosA）， =（cosB，sinB），求|3 ﹣2 |的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵tanA﹣tanB= （1+tanAtanB），

∴tan（A﹣B）= = ，

∵A，B是銳角，∴A﹣B= ．

∵c2=a2+b2﹣ab，∴ = = ，

∵C為銳角，∴ ．

∴ ，解得A= ，B= ．

（II）∵向量 =（sinA，cosA）， =（cosB，sinB），

∴ =1， =sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）= ，

∵銳角△ABC，∴ ，A+B= ，

解得 ．∴ ，

∴ ∈ ．

∵|3 ﹣2 |= = ，

∴ ＜7．

∴ ∈ ，

∴|3 ﹣2 |∈

【解析】（I）利用兩角差的正切公式和余弦定理及其三角形的內角和定理即可得出；（II）利用數量積運算及其性質、銳角三角形的定義、正弦函數的單調性即可得出．