Question

已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定義在R上的兩個函數，則下列命題正確的是（　　）

A、關于x的方程f（x）-k=0恰有四個不相等實數根的充要條件是k∈（-1，0）

B、關于x的方程f（x）=g（x）恰有四個不相等實數根的充要條件是m∈[0，1]

C、當m=1時，對?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[-1，0]，f（x₁）＜g（x₂）成立

D、若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，則m∈（-1，+∞）

Answer 1

分析：分析f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m的函數性質，對選項逐個判斷即可．

解答：解：∵f（x）=-2|2|x|-1|+1，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-2|2|x|-1|+1是偶函數，
x＞0時，f（x）=-2|2x-1|+1=

-4x+3，x＞ 1 2 4x-1，0＜x＜ 1 2

，
∴f（x）=-2|2|x|-1|+1的圖象如圖所示，
∴關于x的方程f（x）-k=0恰有四個不相等實數根的充要條件是k∈（-1，1），即A不正確；
函數g（x）=x²-2|x|+m是偶函數，與y軸的交點坐標為（0，m），顯然m=-

1

2

時，關于x的方程f（x）=g（x）有四個不相等實數根，故B不正確；
?x₁∈[-1，0]，f（x₁）∈[-1，1]，x₂∈[-1，0]，g（x）=x²+2x+1∈[0，1]，
∴當m=1時，對?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[-1，0]，f（x₁）＜g（x₂）不成立，即C正確；
對于D，?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）≥g（x₂）成立時，m≤-1，
∴若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，則m∈（-1，+∞），故D不正確．
故選D．

點評：本題考查命題真假的判斷，考查數形結合的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，分析函數的性質是關鍵．