Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）求函數在區間上的最小值；

（Ⅱ）證明：對任意， ，都有成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.　

【解析】試題分析：（Ⅰ）由，當， ， 單調遞增，所以函數在區間上單調遞增， 在區間上的最小值為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（）在時取得最小值，可知．由，可得，所以當時， ， 單調遞增；當時， ， 單調遞減．

所以函數（）在時取得最大值，又，可知，

所以對任意， ，都有成立．

試題解析：（Ⅰ）解：由，可得．

當， ， 單調遞減；

當， ， 單調遞增．

所以函數在區間上單調遞增，

又，所以函數在區間上的最小值為．

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知（）在時取得最小值，

又，可知．

由，可得，

所以當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減．

所以函數（）在時取得最大值，

又，可知，

所以對任意， ，都有成立．