Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），是上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的普通方程；

（Ⅱ）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線與交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(I)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩個向量相等的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，消去參數(shù)后得到的普通方程.（II）方法一：先求得直線的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立直線的方程和的方程，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得的長，進(jìn)而求得的值.方法二：先求出直線的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入的方程，利用直線參數(shù)的幾何意義，求得的值.

（Ⅰ）設(shè)，.

∵∴，消去得的普通方程為.

（Ⅱ）法一：直線的極坐標(biāo)方程，即.

∵，，得直線的直角坐標(biāo)方程為.

∴，由得，∴，.

∴，，∴.

法二：直線的極坐標(biāo)方程，即.

∵，，得直線的直角坐標(biāo)方程為.

∴.∵直線的傾斜角為，

∴可得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

代入，得，設(shè)此方程的兩個根為，，則.

∴.