Question

【題目】已知直線與橢圓交于不同的兩點，線段的中點為，且直線與直線的斜率之積為.若直線與直線交于點，與直線交于點，且點為直線上一點.

（1）求的軌跡方程；

（2）若為橢圓的上頂點，直線與軸交點，記表示面積，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設，，，結合題意求得，然后消去參數即可得解；

（2）結合題意，求出，，，，的坐標，然后結合三角形面積公式求解即可.

解：（1）設，，，

聯立方程，

得，

由，且，

因此，

將其代入得，

因為，

所以，

∴，

所以直線方程為，

可得，

∴，

代入，得，

消去，可得點的軌跡方程為.

（2）根據題意，，

所以橢圓的方程為.

由（1）知，，，

對于直線，令，，

所以，

所以，，，，

所以，，

所以，

令，

則，

當，

即時，取得最大值，

此時，滿足.

故取得最大值.