Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，將曲線方程，先向左平移2個單位，再向上平移2個單位，得到曲線C.

（1）點M（x，y）為曲線C上任意一點，寫出曲線C的參數(shù)方程，并求出的最大值；

（2）設直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），又直線l與曲線C的交點為E，F，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段EF的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.

Answer 1

【答案】（1）（θ為參數(shù)）；4；（2）

【解析】

（1）直接利用轉換關系，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換，進一步利用三角函數(shù)關系式的變換和余弦型函數(shù)性質的應用求出結果.

（2）利用中點坐標公式的應用和直線垂直的充要條件的應用求出結果.

解：（1）將曲線方程，先向左平移2個單位，再向上平移2個單位，得到曲線C的方程為，

即，

故曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）；

又點M（x，y）為曲線C上任意一點，

所以2cos4cos（）.

所以的最大值為4；

（2）由（1）知曲線C的直角坐標方程為，

又直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），

所以直線l的普通方程為x+2y﹣4＝0，

所以有，

解得或.

所以線段EF的中點坐標為（），

即線段EF的中點坐標為（2，1），

直線l的斜率為，

則與直線l垂直的直線的斜率為2，

故所求直線的直角坐標方程為y﹣1＝2（x﹣2），

即2x﹣y﹣3＝0，

將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，

得其極坐標方程為2ρcosθ﹣ρsinθ﹣3＝0.