Question

【題目】若圓C1：x2+y2=m與圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切． （Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）若圓C1與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，P為第三象限內一點，且點P在圓C1上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圓C1的圓心坐標（0，0），半徑為 （m＞0），

圓C2的圓心坐標（3，4），半徑為3，圓心距為：5，

又兩圓外切，得 ，解得m=4．

（Ⅱ）由題易得點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，2），圓C1：x2+y2=4，

設P點的坐標為（x0，y0），x0，y0∈（﹣2，0）．

由題意，得點M的坐標為（0， ），點N的坐標為（ ，0），

四邊形ABNM的面積S= |AN||BM|= =| |=| |，

由點P在圓C1上，得x02+y02=4，

∴四邊形ABNM的面積S= ，

∴四邊形ABNM的面積為定值4．

【解析】（Ⅰ）求出圓的圓心坐標，利用相切列出方程，即可求實數m的值；（Ⅱ）求出點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，2），設P點的坐標為（x0，y0），推出點M的坐標為（0， ），點N的坐標為（ ，0），表示出四邊形ABNM的面積，利用點P在圓C1上，得x02+y02=4，化簡求解即可．