Question

【題目】設 ，對任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcosx≥0恒成立，則實數m的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣3]
【解析】解：∵ ，表示y= 在[0，1]上的積分，也得圓面積的四分之一， ∴a= ×π，
∴對任意x∈R，不等式 （cos2x﹣m）+πcosx≥0恒成立，
可得m≤cos2x+4cosx在x∈R上恒成立，cosx∈[﹣1，1]，
求出cos2x+4cosx的最小值即可，cos2x+4cosx=（cosx+2）2﹣4，
∵函數開口向上，cosx∈[﹣1，1]，
函數f（cosx）=cos2x+4cosx在[﹣1，1]上增函數，當cosx=﹣1時取得最小值，可得（﹣1）2+4×（﹣1）=﹣3，
∴cos2x+4cosx的最小值為﹣3，
∴m≤﹣3，
所以答案是（﹣∞，﹣3]；
【考點精析】利用定積分的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知定積分的值是一個常數，可正、可負、可為零；用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限．