Question

【題目】設函數，，．

（1）若函數有兩個零點，試求的取值范圍；

（2）證明．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數g（x）的導數，通過討論a的范圍，判斷函數g（x）的單調性結合函數零點的個數確定a的范圍即可；（2）設h（x）=（x﹣1）ex﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，其定義域為（1，+∞），只需證明h（x）≥0即可，根據函數的單調性求出h（x）的最小值，從而證出結論.

詳解：（1）函數的定義域為，由已知得．

①當時，函數只有一個零點；

②當，因為， 當時，；當時，．

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．又，，

因為，所以，所以，

所以，取，顯然且

所以，．

由零點存在性定理及函數的單調性知，函數有兩個零點．

③當時，由，得或．

當，則．當變化時，，變化情況如下表：

		0
		0	－	0
		－1

注意到，所以函數至多有一個零點，不符合題意．

當，則，在單調遞增，函數至多有一個零點，不符合題意．

若，則．當變化時，，變化情況如下表：

				0
		0	－	0
				－1

注意到當，時，，，

所以函數至多有一個零點，不符合題意．

綜上，的取值范圍是．

（2）證明：．

設，其定義域為，則證明即可．

因為，取，則

，且．

又因為，所以函數在上單增．

所以有唯一的實根，且．

當時，；當時，．所以函數的最小值為．

所以．

所以．