Question

【題目】如圖，在極坐標系中，，，，，，弧，所在圓的圓心分別是，，曲線是弧，曲線是線段，曲線是線段，曲線是弧.

（1）分別寫出，，，的極坐標方程；

（2）曲線由，，，構成，若點，（），在上，則當時，求點的極坐標.

Answer 1

【答案】（1）線的極坐標方程為：，的極坐標方程為：，，的極坐標方程分別為：，；（2），

.

【解析】

（1）在極坐標系下，在曲線上任取一點，直角三角形中，

，曲線的極坐標方程為：，同理可得其他.

（2）當時，，，當，，

計算得到答案.

（1）解法一：在極坐標系下，在曲線上任取一點，連接、，

則在直角三角形中，，，，得：.

所以曲線的極坐標方程為：

又在曲線上任取一點，則在中，，，，

，，由正弦定理得：，

即：，化簡得的極坐標方程為：

同理可得曲線，的極坐標方程分別為：，

解法二：（先寫出直角坐標方程，再化成極坐標方程.）

由題意可知，，，的直角坐標方程為：

，，

，，

所以，，，的極坐標方程為：，

，，

（2）當時，，，

當時，，，

所以點的極坐標為，