Question

【題目】如圖，三棱柱中，側棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；

【解析】

試題分析：（1）要證明平面，需證明及，前面在平面中證明，利用勾股定理，即通過計算設，則.∴，∴.后者通過線面垂直與線線垂直的轉化得，即由面面，得面，再得。（2）求二面角的余弦值，可通過作、證、算，本題可過作,則為所求二面角的平面角.也可利用空間向量求，先建系，求出平面及平面的法向量，利用向量數量積求出兩法向量的夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得出結論.

試題解析：（1）連結，∵是等腰直角三角形斜邊的中點，∴.

又三棱柱為直三棱柱，

∴面面，

∴面，. 2分

設，則.

∴，∴. 4分

又，∴平面. 6分

（2）以為坐標原點，分別為軸建立直角坐標系如圖，設，

則，

，. 8分

由（1）知，平面，

∴可取平面的法向量.

設平面的法向量為，

由

∴可取. 10分

設銳二面角的大小為，

則.

∴所求銳二面角的余弦值為. 12分