Question

已知函數f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)當a＝時，求f(x)的最小值；
(2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）a＞－3

(1)當a＝時，f(x)＝x＋＋2.
設x₁＞x₂≥1，則f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)＋＝(x₁－x₂)·.
∵x₁＞x₂≥1，∴f(x₁)＞f(x₂)，∴f(x)在[1，＋∞)上為增函數．
∴f(x)≥f(1)＝，即f(x)的最小值為.
(2)∵f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，
即x²＋2x＋a＞0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a＞[－(x²＋2x)]_max.
∵t(x)＝－(x²＋2x)在[1，＋∞)上為減函數，
∴t(x)_max＝t(1)＝－3,∴a＞－3.