Question

【題目】（12分）

在直角坐標系xOy中，曲線y=x2+mx–2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1).當m變化時，解答下列問題：

（1）能否出現AC⊥BC的情況？說明理由；

（2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.

Answer 1

【答案】（1）不會；（2）詳見解析

【解析】（1）設，則是方程的根，

所以，

則，

所以不會能否出現AC⊥BC的情況。

（2）解法1：過A，B，C三點的圓的圓心必在線段AB垂直平分線上，設圓心，則，由得，化簡得，所以圓E的方程為，

令得，所以過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為，所以

所以過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值

解法2：設過A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D，

由可知原點O在圓內，由相交弦定理可得，

又，所以，

所以過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為，為定值.