Question

已知f（x）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3），若x∈（2π，3π），求f（x）的單調區間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：化簡解析式可得f（x）=1-3

2

cos（x-

π

4

），由x∈（2π，3π），有設t=x-

π

4

，t∈（

7π

4

，

11π

4

），根據三角函數的單調性即可求f（x）的單調區間．

解答： 解：f（x）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）
=cos²x-3cosx+sin²x-3sinx
=1-3（cosx+sinx）
=1-3

2

cos（x-

π

4

）
∵x∈（2π，3π），
∴設t=x-

π

4

，t∈（

7π

4

，

11π

4

），
∵當x∈（2π，3π）時，3

2

cost在區間t∈（

7π

4

，

9π

4

）上是單調遞增的，
∴當x∈（2π，3π）時，f（x）的單調遞減區間是（

7π

4

，

9π

4

）．
∵當x∈（2π，3π）時，3

2

cost在區間t∈（

9π

4

，

11π

4

）上是單調遞減的，
∴當x∈（2π，3π）時，f（x）的單調遞增區間是（

9π

4

，

11π

4

）．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，同角三角函數基本關系的運用，三角函數值域的解法，綜合性強，屬于中檔題．