Question

已知函數在上是增函數，在上為減函數.
（1）求的表達式；
（2）若當時，不等式恒成立，求實數的值；
（3）是否存在實數使得關于的方程在區間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，若存在，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)=(1+x)²-ln(1+x)²；（2）m＞e²-2；（3）2-2ln2＜b≤3-2ln3.

第一問中，利用f′(x)=2(1+x)- 依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數，在（-∞,-2)上為減函數.∴x=-2時，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.
代入方程解得a=1,
故求得解析式
第二問中，當時，不等式恒成立，只需要求解f(x)的最大值滿足即可。第三問中，若存在實數b使得條件成立，方程f(x)=x²+x+b
即為x-b+1-ln(1+x)²=0,構造函數令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,
求導得到結論。
解 （1）∵f′(x)=2(1+x)-=2·,
依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數，在（-∞,-2)上為減函數.∴x=-2時，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.代入方程解得a=1,故f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,
令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=-2.
（由于x∈，故x₂=-2舍去），
易證函數在上單調遞減，
在［0，e-1］上單調遞增，
且f()=+2,f(e-1)=e²-2＞+2,
故當x∈時，f(x)_max=e²-2,
因此若使原不等式恒成立只需m＞e²-2即可.
（3）若存在實數b使得條件成立，
方程f(x)=x²+x+b，即為x-b+1-ln(1+x)²=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,
則g′(x)=1-=,
令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,
令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,
故g(x)在［0，1］上單調遞減，在［1，2］上單調遞增，要使方程f(x)=x²+x+b在區間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，只需g(x)=0在區間［0，1］和［1，2］上各有一個實根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,
故存在這樣的實數b,當2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件.