Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，高AA₁=2，
求（1）異面直線BD與AB₁所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．
（2）求點C到平面BDC₁的距離及直線B₁D與平面CDD₁C₁所成的角．

Answer 1

分析：通過建立空間直角坐標系，（1）利用異面直線的方向向量所成的夾角即可得出；（2）求出平面BDC₁的法向量，利用點C到平面BDC₁的距離公式d=

| n • BC |

| n |

即可得出；
（3）求出平面CDD₁C₁的法向量，利用sinθ=|cos＜

B1D

，

A1D1

＞|=

| B1D • A1D1 |

| B1D | | A1D1 |

即可得出．

解答：解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系．
則A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），C₁（1，1，0），D₁（0，1，0），A（0，0，2），B（1，0，2），C（1，1，2），D（0，1，2），
∴

BD

=(-1，1，0)，

AB1

=（1，0，-2）．
∴cos＜

BD

，

AB1

＞=

BD • AB1

| BD | | AB1 |

=

-1

2 • 5

=-

10

10

．
∴異面直線BD與AB₁所成角=arccos

10

10

．
（2）由（1）可知：

BC

=(0，1，0)，

C1D

=(-1，0，2)．
設平面BDC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BD =0 n • C1D =0

，即

-x+y=0 -x+2z=0

，令z=1，則x=2，y=2．
∴

n

=(2，2，1)．
∴點C到平面BDC₁的距離d=

| n • BC |

| n |

=

2

9

=

2

3

．
（3）由（1）可知：

B1D

=（-1，1，2）．
∵A₁D₁⊥平面CDD₁C₁，∴可取

A1D1

=（0，1，0）作為平面CDD₁C₁的法向量．
設直線B₁D與平面CDD₁C₁所成的角為θ．
則sinθ=|cos＜

B1D

，

A1D1

＞|=

| B1D • A1D1 |

| B1D | | A1D1 |

=

1

6 ×1

=

6

6

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系、由異面直線的方向向量所成的夾角求異面直線所成的角、點C到平面BDC₁的距離公式d=

| n • BC |

| n |

、由sinθ=|cos＜

B1D

，

A1D1

＞|=

| B1D • A1D1 |

| B1D | | A1D1 |

求線面角是解題的關鍵．