Question

已知橢圓經過點，離心率，直線與橢圓交于，兩點，向量，，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線過橢圓的焦點（為半焦距）時，求直線的斜率.

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）將點代入橢圓方程，并與和聯立，解方程組可得的值。（2）由（1）知，，則，。則可設的方程為，與橢圓方程聯立消去整理為關于的一元二次方程，可得根與系數的關系。因為所以，根據數量積公式可得的關系式，將所得的根與系數的關系代入上式可求得。
（1）∵  ∴
∴橢圓的方程為（5分）
（2）依題意，設的方程為,
由   顯然,（8分）
, 由已知得：
（12分）
,解得
考點：1橢圓的簡單幾何性質；2直線與橢圓的位置關系。