Question

【題目】已知點，點是圓：上任意一點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡記為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過的直線交曲線于不同的，兩點，交軸于點，已知，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據垂直平分線的性質及幾何關系，結合橢圓的定義，求得曲線的方程；

（2）過的直線斜率為0時，直接求出，可得，斜率不為0時可設為，，再聯立方程組，運用根與系數的關系，化簡向量式并表示出，化簡可得.

解：（1）由題意知，，

故由橢圓定義知，點的軌跡是以點，為焦點，長軸為6，焦距為4的橢圓，從而長半軸長為，短半軸長為，∴曲線的方程為：．

（2）由題意知，若直線恰好過原點，則，，，

∴，，則，

，，則，∴．

若直線不過原點，設直線：，，

，，．

則，，

，，

由，得，從而；

由，得，從而；

故．

聯立方程組得：整理得，

∴，，

∴．

綜上所述，．