Question

已知函數f（x）=

m

•

n

，其中

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)（ω＞0），若f（x）圖象中相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）求函數y=f（x）的單調遞增區間；
（2）若函數g（x）=f（x）-a在區間[-

π

6

，

π

4

]上恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和正弦公式化簡函數f（x）的解析式，根據周期求出w=1，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求出
x的范圍，即為函數f（x）的增區間．
（2）由題意可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，解可得答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

m

•

n

=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)，
f（x）圖象中相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，∴T=π，∴w=1．
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，可得  kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴函數f（x）的增區間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z．
（2）∵g(x)=2sin(2x+

π

6

)-a在x∈[-

π

6

，

π

4

]上恰有兩個零點，
且2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，可知：a的取值范圍是：[

3

，2)．

點評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數的單調性，周期性，函數的零點的定義，求出函數f（x）的解析式，是解題的關鍵．