Question

已知函數f(x)=alnx+bx,且f(1)= -1，f′(1)=0，
（1）求f(x)；
（2）求f(x)的最大值；
（3）x>0,y>0,證明：lnx+lny≤.

Answer 1

（1）f(x)=lnx-x
（2）-1
（3）見解析

（1）由b=" f(1)=" -1, f′(1)="a+b=0," ∴a=1,∴f(x)=lnx-x為所求；
（2）∵x>0,f′(x)=-1=,

x	0<x<1	x=1	x>1
f′(x)	+	0	-
f(x)	↗	極大值	↘

 
∴f(x)在x=1處取得極大值-1，即所求最大值為-1；
（3）由（2）得lnx≤x-1恒成立，
∴lnx+lny=+≤+=成立