Question

已知f(x)是定義在集合M上的函數．若區間D⊆M，且對任意x₀∈D，均有f(x₀)∈D，則稱函數f(x)在區間D上封閉．
(1)判斷f(x)＝x－1在區間[－2,1]上是否封閉，并說明理由；
(2)若函數g(x)＝在區間[3,10]上封閉，求實數a的取值范圍；
(3)若函數h(x)＝x³－3x在區間[a，b](a，b∈Z，且a≠b)上封閉，求a，b的值．

Answer 1

（1）函數f(x)在區間[－2,1]上不是封閉的
（2）[3,31]
（3）a＝－2，b＝2

解：(1)因為函數f(x)＝x－1在區間[－2,1]上單調遞增，
所以當x∈[－2,1]時，f(x)的值域為[－3,0]．
而[－3,0]?[－2,1]，所以函數f(x)在區間[－2,1]上不是封閉的．
(2)因為g(x)＝＝3＋.
①當a＝3時，函數g(x)＝3，顯然{3}⊆[3,10]，故a＝3滿足題意；
②當a>3時，在區間[3,10]上，函數g(x)單調遞減，此時g(x)的值域為.
由⊆[3,10]
得，解得3≤a≤31，
故3<a≤31；
③當a<3時，在區間[3,10]上，有g(x)＝3＋<3，不合題意．
綜上所述，實數a的取值范圍是[3,31]．
(3)因為h(x)＝x³－3x，
所以h′(x)＝3x²－3＝3(x＋1)(x－1)．
因為當x<－1或x>1時，h′(x)>0；
當x＝－1或x＝1時，h′(x)＝0；
當－1<x<1時，h′(x)<0，
所以函數h(x)在區間(－∞，－1)上單調遞增，在區間(－1,1)上單調遞減，在區間(1，＋∞)上單調遞增．
從而h(x)在x＝－1處取得極大值2，在x＝1處取得極小值－2.
由題意知
即
解得
因為a<b，所以－2≤a≤0,0≤b≤2.
又a，b∈Z，故a只可能取－2，－1,0，b只可能取0,1,2.
①當a＝－2時，因為b>0，故由h(－1)＝2得b≥2，因此b＝2.經檢驗，a＝－2，b＝2符合題意；
②當a＝－1時，由h(－1)＝2，得b＝2，此時h(1)＝－2∉[－1,2]，不符合題意；
③當a＝0時，顯然不符合題意．
綜上所述，a＝－2，b＝2.