Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣1|
（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|= ，

當x＜﹣3時，由﹣3x﹣2≥8，解得x≤﹣ ；

當﹣3 時，由﹣x+4≥8，解得x∈；

當x≥ 時，由3x+2≥8，解得x≥2

所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集為{x|x≤﹣ 或x≥2}

（Ⅱ）證明： 等價于f（ab）＞|a|f（ ），即|ab﹣1|＞|a﹣b|，

因為|a|＜1，|b|＜1，

所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，

所以，|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所證不等式成立

【解析】（Ⅰ）依題意，f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|= ，利用分段函數分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1， f（ab）＞|a|f（ ）|ab﹣1|＞|a﹣b|，要證該不等式成立，只需證明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．