Question

【題目】設橢圓C： + =1（a＞b＞0），定義橢圓的“伴隨圓”方程為x2+y2=a2+b2；若拋物線x2=4y的焦點與橢圓C的一個短軸重合，且橢圓C的離心率為 ．
（1）求橢圓C的方程和“伴隨圓”E的方程；
（2）過“伴隨圓”E上任意一點P作橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點，延長PA與“伴隨圓”E交于點Q，O為坐標原點．
①證明：PA⊥PB；
②若直線OP，OQ的斜率存在，設其分別為k1 ， k2 ， 試判斷k1k2是否為定值，若是，求出該值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線x2=4y的焦點為（0，1）與橢圓C的一個短軸端點重合，

∴b=1，

由橢圓C的離心率e= = = ，則a2=3，

∴橢圓的標準方程為： ，x2+y2=4

（2）解：①證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），過點P過橢圓C的切線斜率存在且不為零，

設方程為y=kx+m，（k≠0），

由直線y=kx+m，過P（x1，y1），則m=y1﹣kx1，且x12+y12=4，

，消去y得：（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，

△=36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣3）=0，整理得：m2=3k2+1，

將m=y1﹣kx1，代入上式關于k的方程（x12﹣3）k2﹣2x1y1k+y12﹣1=0，（x12﹣3≠0），

則kPAkPB= =﹣1，（x12+y12=4），

當切線的斜率不存在或等于零結論顯然成立，

∴PA⊥PB，

②當直線PQ的斜率存在時，

由①可知直線PQ的方程為y=kx+m，

，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4=0，

則△=4k2m2﹣4（k2+1）（m2﹣4），將m2=3k2+1，代入整理△=4k2+12＞0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∴k1k2= = = ，

= ，

將m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=﹣ ，

當直線PQ的斜率不存在時，易證k1k2=﹣ ，

∴綜上可知：k1k2=﹣

【解析】（1）由拋物線的方程，求得b的值，利用離心率公式，即可求得a的值，求得橢圓方程；（2）①設直線y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，即可求得kPAkPB=﹣1，即可證明PA⊥PB；②將直線方程代入圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式求得k1k2= ，代入即可求得k1k2=﹣ ．