Question

已知F，F'分別是橢圓C₁：17x²+16y²=17的上、下焦點，直線l₁過點F'且垂直于橢圓長軸，動直線l₂垂直l₁于點G，線段GF的垂直平分線交l₂于點H，點H的軌跡為C₂．
（Ⅰ）求軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）若動點P在直線l：x-y-2=0上運動，且過點P作軌跡C₂的兩務切線PA、PB，切點為A、B，試猜想∠PFA與∠PFB的大小關系，并證明你的結論的正確性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓C₁：17x²+16y²=17，可得F，F'的坐標，從而可得動點H到定直線l₁：y=-與定點F（0，）的距離相等，由此可得軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）猜想∠PFA與∠PFB，先求切線AP、BP的方程，聯立可得P的坐標，進一步可得、、的坐標，利用向量的夾角公式，可得cos∠AFP=cos∠BFP，從而可得結論．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C₁：17x²+16y²=17，∴橢圓半焦距長為
∴F′（0，-），F（0，）
∵HG=HF，∴動點H到定直線l₁：y=-與定點F（0，）的距離相等
∴動點H的軌跡為以定直線l₁：y=-為準線，定點F（0，）為焦點的拋物線
∴軌跡C₂的方程為x²=y；
（Ⅱ）猜想∠PFA與∠PFB，證明如下：
由（Ⅰ）設A（），B（）（x≠x₁）
∴切線AP：，切線BP：
聯立可得P的坐標，y_P=xx₁
∵=（），=（），=（，）
由于P在拋物線外，則
∴cos∠AFP==
同理可得cos∠BFP==
∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠AFP=∠BFP．
點評：本題考查軌跡方程，考查拋物線的定義，考查向量知識的運用，正確運用向量的夾角公式是關鍵．