Question

【題目】如圖，正四棱柱的底面邊長為，側棱長為1，求：

（1）直線與直線所成角的余弦值；

（2）平面與平面所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）以 {，，} 為正交基底建立空間直角坐標系D﹣xyz，利用向量法能求出直線A1C與直線AD1所成角的余弦值；

（2）求出平面D1AC的一個法向量和平面ABB1A1的一個法向量，利用向量法能求出平面D1AC與平面ABB1A1所成二面角的正弦值．

(1)如圖，正四棱柱的底面邊長為，側棱長為1，

故以 為正交基底建立空間直角坐標系．

則，，，

， ．

（1）因為 ，

，

所以，

，，

從而．

又異面直線所成的角的范圍是，

所以直線與直線所成角的余弦值為．

（2），，

設平面的一個法向量為，

則從而即

取，可得，，即．

在正四棱柱中，平面，

又，

所以為平面的一個法向量．

因為，且，，

所以．

因此平面與平面所成二面角的正弦值為．