Question

【題目】已知函數，若過點P（1，t）存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍__________。

Answer 1

【答案】(-3，-1)

【解析】

設出切點，由斜率的兩種表示得到等式，化簡得三次函數，將題目條件化為函數有三個零點，得解．

設過點P（1，t）的直線與曲線y＝f（x）相切于點（x，2x3﹣3x），

則6x2﹣3，

化簡得，4x3﹣6x2+3+t＝0，

令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，

則令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，

則x＝0，x＝1．

∴g（x）在（1，+）上單增，在（0，1）上單減，

且g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，

又∵過點P（1，t）存在3條直線與曲線y＝f（x）相切，

則（t+3）（t+1）＜0，

解得，﹣3＜t＜﹣1．

故答案為(-3，-1).