Question

已知函數f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0．
（1）若函數f（x）是偶函數，求f（x）的解析式；
（2）要使函數f（x）在區間[-1，3]上單調遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據f（1）可得到b+c=-1，由f（x）是偶函數可得b=0，所以得到c=-1，這樣便可得到f（x）解析式；
（2）f（x）是二次函數，求出f（x）的對稱軸x=-

b

2

，所以根據f（x）在[-1，3]上單調遞增可得-

b

2

≤-1，所以得出b的取值范圍為[2，+∞）．

解答： 解：（1）f（1）=0得1+b+c=0；
f（x）是偶函數，∴f（-x）=x²-bx+c=x²+bx+c；
∴b=0，c=-1；
∴f（x）=x²-1；
（2）f（x）的對稱軸為x=-

b

2

；
∵f（x）在[-1，3]上單調遞增；
∴-

b

2

≤-1，b≥2；
∴b的取值范圍為[2，+∞）．

點評：考查偶函數的定義，以及二次函數的單調性與對稱軸的關系．