Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2

5

，PD=4

2

．E是PD的中點．
（1）求證：AE⊥平面PCD；
（2）求平面ACE與平面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）在線段BC上是否存在點F，使得三棱錐F-ACE的體積恰為

4

3

，若存在，試確定點F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據邊的長度關系可知三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD，同理PA⊥AB，又AD∩AB=A，滿足線面垂直的判斷定理，則PA⊥平面ABCD，根據線面垂直得到面面垂直，再由面面垂直得到線線垂直，即CD⊥AE，因為E是PD的中點，三角形PAD是等腰直角三角形，從而AE⊥PD，又PD∩CD=D，滿足線面垂直的判定定理可得結論．
（2）解法一：取AD的中點K，連接EK，過K作KT⊥AC，垂足為T，連接ET．易知∠ETK即為所求的平面ACE與平面ABCD所成二面角的平面角，在三角形ETK中求出此角的余弦值即可；解法二：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，先求出平面AEC的一個法向量，而

AP

是平面ABCD的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求出所求；
（3）假設在線段BC上，存在點F（2，y₀，0），使得三棱錐F-ACE的體積恰為

4

3

，然后求出點F（2，y₀，0）到平面AEC的距離為h，而h=

| AF• n|

|n|

=

|4-y0|

22+1+1

解之即可．

解答：解：（1）因為PA²+AD²=4²+4²=32，PD²=（4

2

）²=32，
所以三角形PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD．
同理PA²+AB²=4²+2²=20，PB²=（2

5

）²=20，
所以三角形PAB是直角三角形，所以PA⊥AB．
又AD∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD．
因為底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
因為AE?平面PAD，
所以CD⊥AE．
因為E是PD的中點，三角形PAD是等腰直角三角形，
所以AE⊥PD．
又PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD．
（2）解法一：取AD的中點K，連接EK，過K作KT⊥AC，垂足為T，連接ET．

因為E是PD的中點，所以EK∥PA，EK=2，EK⊥平面ABCD，
所以EK⊥AC．
又EK∩TK=K，所以AC⊥平面EKT，AC⊥ET，
故∠ETK即為所求的平面ACE與平面ABCD所成二面角的平面角，
因為三角形KTA與三角形CDA相似，所以

TK

CD

=

AK

AC

，
又AC=

42+22

=2

5

，所以TK=

AK•CD

AC

=

2×2

2 5

=

2 5

5

，
所以ET=

( 2 5 5 )2+22

=

2 30

5

．
故cos∠ETK=

2 5 5

2 30 5

=

6

6

．
解法二：如圖，以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C（2，4，0），E（0，2，2），P（0，0，4），

AC

=（2，4，0），

AE

=（0，2，2），

設n=（x，y，z）是平面AEC的一個法向量，
則有

n• AC =0 n• AE =0

，得

x+2y=0 y+z=0

，
令z=1得y=-1，x=2，即n=（2，-1，1），
由（1）可知

AP

=（0，0，4）是平面ABCD的一個法向量，
所以cos＜n，

AP

＞=

(2，-1，1)•(0，0，4)

4× 22+1+1

=

6

6

．
結合圖形易知，平面ACE與平面ABCD所成二面角的余弦值為

6

6

．
（3）如圖，假設在線段BC上，存在點F（2，y₀，0），使得三棱錐F-ACE的體積恰為

4

3

，
由（2）知，ET=

2 30

5

，
AC=2

5

，
則S_△ACE=

1

2

AC•ET=

1

2

×2

5

×

2 30

5

=2

6

，
設F（2，y₀，0）到平面AEC的距離為h，則

4

3

=

1

3

×2

6

×h，解得h=

6

3

．
又

AF

=（2，y₀，0），n=（2，-1，1）為平面AEC的一個法向量，所以h=

6

3

=

| AF• n|

|n|

=

|4-y0|

22+1+1

，
得|4-y₀|=2，所以y₀=2或y₀=6＞4（舍去），
所以點F的坐標為（2，2，0），即點F為BC的中點時三棱錐F-ACE的體積恰為

4

3

．

點評：本題是一道綜合題，考查了線面垂直的判定以及二面角的度量和幾何體的體積等有關問題，同時考查了利用空間向量的方法求解立體幾何問題，以及空間想象能力和計算能力的考查，屬于中檔題．