Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點．
（Ⅰ）求證：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）設點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為θ，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過建立空間直角坐標系，利用平面SCD的法向量

n

•

AM

=0即可證明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）分別求出平面SCD與平面SAB的法向量，利用法向量的夾角即可得出；
（Ⅲ）利用線面角的夾角公式即可得出表達式，進而利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．
則

AM

=(0，1，1)，

SD

=(1，0，-2)，

CD

=(-1，-2，0)．
設平面SCD的法向量是

n

=(x，y，z)，則

SD • n =0 CD • n =0

，即

x-2z=0 -x-2y=0

令z=1，則x=2，y=-1．于是

n

=(2，-1，1)．
∵

n

•

AM

=0-1×1+1×1=0，∴

AM

⊥

n

．
又∵AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量為

n1

=(1，0，0)．設平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，
則|cosα|=

| n • n1 |

| n | | n1 |

=

2

1× 6

=

6

3

，即cosα=

6

3

．
∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為

6

3

．
（Ⅲ）設N（x，2x-2，0），則

MN

=(x，2x-3，-1)．
∴sinθ=

| n1 • MN |

| n1 | | MN |

=

|x|

5x2-12x+10

=

1

5- 12 x + 10 x2

=

1

10( 1 x - 3 5 )2+ 7 5

．

當

1

x

=

3

5

，即x=

5

3

時，(sinθ)max=

35

7

．

點評：熟練掌握建立空間直角坐標系利用平面SCD的法向量

n

•

AM

=0即可證明AM∥平面SCD、平面SCD與平面SAB的法向量的夾角求出二面角、線面角的夾角公式、二次函數的單調性是解題的關鍵．