Question

半徑為1的球內(nèi)切于圓錐（直圓錐），已知圓錐母線與底面夾角為2θ．
（1）求證：圓錐的母線與底面半徑的和是

2

tgθ(1-tg2θ)

；
（2）求證：圓錐全面積是

2π

tgθ(1-tg2θ)

；
（3）當(dāng)θ是什么值時，圓錐的全面積最小？

Answer 1

分析：（1）過球心O與直圓錐底面的中心O₁作一平面與圓錐和球的截面進(jìn)而可知△SAB為等腰三角形聯(lián)OB，則∠OBO₁=θ設(shè)圓錐母線長為l，底面半徑為R，進(jìn)而可表示l和R，代入l+R中化簡整理即可證明原式．
（2）把（1）中求得l和R代入圓錐的全面積=πR（l+R）中化簡整理即可證明．
（3）在圓錐全面積的表達(dá)式中，因其分子為常數(shù)，所以欲使全面積最小，必須使其分母最大．進(jìn)而根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知tgθ=

2

2

時，全面積最小，進(jìn)而求得此時的θ．

解答：證明：（1）過球心O與直圓錐底面的中心O₁作一平面與圓錐和球的截面如圖．
因此，△SAB為等腰三角形聯(lián)OB，則∠OBO₁=θ
設(shè)圓錐母線長為l，底面半徑為R，
則l•cos2θ=R，l=

R

cos2θ

又tan∠OBO1=

1

R

，即R=

1

tgθ

，
∴l=

1

tgθ•cos2θ

，
∴l+R=

1

tgθ•cos2θ

+

1

tgθ

=

1

tgθ

(1+

1

cos2θ

)
=

1

tgθ

•

1+cos2θ

cos2θ

=

1

tgθ

•

2cos2θ

cos2θ-sin2θ

=

1

tgθ

•

2

1-tg2θ

=

2

tgθ(1-tg2θ)

．
（2）圓錐的全面積=πR（l+R）
=π•

1

tgθ

•

2

tgθ(1-tg2θ)

=

2π

tg2θ(1-tg2θ)

．
（3）在圓錐全面積的表達(dá)式中，
因其分子為常數(shù)，
所以欲使全面積最小，
必須使其分母最大．
tg2θ(1-tg2θ)=

1

4

-

1

4

(2tg2θ-1)2．
因此，欲使tg²θ（1-tg²θ）最大，必須
2tg2θ-1=0，tgθ=

2

2

，（因必為銳，所以僅取正號）
θ=arctg

2

2

．
故當(dāng)θ取值θ=arctg

2

2

時，圓錐的全面積最小．

點(diǎn)評：本題主要考查了組合幾何體的面積和體積的問題．涉及到三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的最值問題，綜合性很強(qiáng)．