Question

【題目】已知四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB＝∠ADC＝90°，DC＝AB，F，M分別是線段PC，PB的中點．

（1）在線段AB上找出一點N，使得平面CMN∥平面PAD，并給出證明過程；

（2）若PA＝AB，DC＝AD，求二面角C—AF—D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）取的中點，連接，取的中點，連接，然后通過中位線，證明線線平行，進而得到線面平行，進而得到面面平行.（2）以分別為軸建立空間直角坐標系，通過計算平面和平面的法向量，來求得面面角的余弦值.

（1）證明：取AB的中點N，連接CN,MN，取PA的中點Q,連接QM，DQ；

在中，MQAB，，而 ，故AB//CD，

故QM//DC，且QM=DC，四邊形CDQM為平行四邊形，CM//DQ，

又平面PAD，平面PAD， 平面PAD；

∵MNPA，平面PAD，PA平面PAD，MN//平面PAD；

因為，故平面CMN//平面PAD；

（2）由已知得：兩兩垂直，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，

則，，，

所以，.

設是平面的一個法向量，則

，令，得.

設是平面的一個法向量，則

，令 ，

.

又二面角為銳角，故二面角的余弦值為.