Question

 如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.

(1)求證：平面PAB⊥平面PAD；

(2)設AB＝AP.若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長．（注意：BC與AD未必平行）

Answer 1

解析：(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，

AB⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB.

又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

所以AB⊥平面PAD.

又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.。。。。。。。。（4分）

(2)以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A－xyz(如圖)．

在平面ABCD內，作CE∥AB交AD于點E，則CE⊥AD.

在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.

設AB＝AP＝t，則B(t,0,0)，P(0,0，t)．

由AB＋AD＝4得AD＝4－t，

所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)，

＝(0,4－t，－t)．

設平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)，

由n⊥，n⊥，得

取x＝t，得平面PCD的一個法向量n＝(t，t,4－t)．。。。。。。。。。。。（8分）

又＝(t,0，－t)，故由直線PB與平面PCD所成的角為30°得

cos60°＝||，即＝，

解得t＝或t＝4(舍去，因為AD＝4－t>0)，所以AB＝.．。。。。。。。。。。。（12分）