【題目】
如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）利用長方體的性質，可以知道
側面
，利用線面垂直的性質可以證明出
，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出
平面
；
（2）以點
坐標原點，以
分別為
軸，建立空間直角坐標系，
設正方形
的邊長為
，
，求出相應點的坐標，利用
，可以求出
之間的關系，分別求出平面
、平面
的法向量，利用空間向量的數量積公式求出二面角
的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數關系，求出二面角的正弦值.
證明（1）因為
是長方體，所以側面，而
平面，所以
又，
，
平面，因此平面；
（2）以點坐標原點，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，
，
因為，所以
，
所以
，
，
設
是平面
的法向量，
所以
，
設
是平面的法向量，
所以
，
二面角的余弦值的絕對值為
，
所以二面角的正弦值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右頂點分別為
，左焦點為
，點
為橢圓
上任一點，若直線
與
的斜率之積為
，且橢圓經過點
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若
交直線
于
兩點，過左焦點作以
為直徑的圓的切線.問切線長是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
過點
，離心率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）
， 
是過點
且互相垂直的兩條直線，其中
交圓
于
， 
兩點， 
交橢圓
于另一個點
，求
面積取得最大值時直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場銷售某種品牌的空調器，每周周初購進一定數量的空調器，商場每銷售一臺空調器可獲利500元，若供大于求，則每臺多余的空調器需交保管費100元；若供不應求，則可從其他商店調劑供應，此時每臺空調器僅獲利潤200元。
（Ⅰ）若該商場周初購進20臺空調器，求當周的利潤（單位：元）關于當周需求量n（單位：臺，
）的函數解析式
；
（Ⅱ）該商場記錄了去年夏天（共10周）空調器需求量n（單位：臺），整理得下表：
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
頻數 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，若商場周初購進20臺空調器，X表示當周的利潤（單位：元），求X的分布列及數學期望。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩臺機床同時生產一種零件，其質量按測試指標劃分：指標大于或等于100為優品，大于等于90且小于100為合格品，小于90為次品，現隨機抽取這兩臺機床生產的零件各100件進行檢測，檢測結果統計如下：
測試指標 | [85，90） | [90，95） | [95，100） | [100，105） | [105，110） |
甲機床 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
乙機床 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（1）試分別估計甲機床、乙機床生產的零件為優品的概率；
（2）甲機床生產1件零件，若是優品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品則虧損20元，假設甲機床某天生產50件零件，請估計甲機床該天的利潤（單位：元）；
（3）從甲、乙機床生產的零件指標在[90，95）內的零件中，采用分層抽樣的方法抽取5件，從這5件中任意抽取2件進行質量分析，求這2件都是乙機床生產的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種設備隨著使用年限的增加，每年的維護費相應增加
現對一批該設備進行調查，得到這批設備自購入使用之日起，前五年平均每臺設備每年的維護費用大致如表：
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維護費 |
|
|
|
|
|
Ⅰ
求y關于t的線性回歸方程；
Ⅱ若該設備的價格是每臺5萬元，甲認為應該使用滿五年換一次設備，而乙則認為應該使用滿十年換一次設備，你認為甲和乙誰更有道理？并說明理由．
參考公式：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點A（t，1）為函數y＝ax2+bx+4（a，b為常數，且a≠0）與y＝x圖象的交點．
（1）求t；
（2）若函數y＝ax2+bx+4的圖象與x軸只有一個交點，求a，b；
（3）若1≤a≤2，設當
≤x≤2時，函數y＝ax2+bx+4的最大值為m，最小值為n，求m﹣n的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點P（x0，y0）（x0≠
）在橢圓C：
（a＞b＞0）上，若點M為橢圓C的右頂點，且PO⊥PM （O為坐標原點），則橢圓C的離心率e的取值范圍是
A. （0，
） B. （0，1） C. （
，1） D. （0，）
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