Question

【題目】已知函數.

（1）當a=1時，求函數的單調區間；

（2）若在上恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）是否存在實數a，使函數的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）；（3）.

【解析】

（1）將代入函數的表達式，求出的導數，得到函數的單調區間；

（2）因為在上恒成立，等價于在上恒成立，即，令，利用導數求函數在上的最大值，即可得解；

（3）先求出函數的導數，通過討論的范圍，得到函數的單調區間，從而求出的值；

解：（1）當時，，，，

令，解得：，令，解得：，

函數在上單調遞減，在上單調遞增；

（2）因為在上恒成立，即在上恒成立，

等價于在上恒成立，

令，則，令，則，

即在上單調遞增，，

（3）由，得，，

當時，有恒成立，此時函數在上單調遞減，

，（舍去，

當時，令，解得：，令，解得：，

函數在單調遞減，在上單調遞增，

，，

綜上，時滿足條件．