Question

在平面直角坐標系內，動圓過定點,且與定直線相切.
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）中心在的橢圓的一個焦點為,直線過點.若坐標原點關于直線的對稱點在曲線上，且直線與橢圓有公共點,求橢圓的長軸長取得最小值時的橢圓方程.

Answer 1

（1）.（2）

試題分析：⑴由題可知，圓心到定點的距離與到定直線的距離相等     
由拋物線定義知,的軌跡是以為焦點,直線為準線的拋物線 
所以動圓圓心的軌跡的方程為.                             
⑵解法1、
設，則中點為，因為兩點關于直線對稱，所以，即，解之得8分
將其代入拋物線方程，得：，所以.                  
聯立，消去，得：             
由，得，                     
注意到，即，所以，即，                 
因此，橢圓長軸長的最小值為.此時橢圓的方程為.         
解法2、
設 ，因為兩點關于直線對稱，則，        
即，解之得                                
即,根據對稱性,不妨設點在第四象限，且直線與拋物線交于.則,于是直線方程為          
聯立，消去，得：             
由，得，                    
注意到，即，所以，即，                 
因此，橢圓長軸長的最小值為. 此時橢圓的方程為.
點評：本題主要考查了圓的切線的性質，圓的標準方程的求法，以及解析幾何中的對稱性問
題，屬于常規題．