Question

已知圓，橢圓．
（Ⅰ）若點在圓上，線段的垂直平分線經過橢圓的右焦點，求點的橫坐標；
（Ⅱ）現有如下真命題：
“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”；
“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”．
據此,寫出一般結論，并加以證明．

Answer 1

（1）
（2）一般結論為: “過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直．”

試題分析：解法一：
（Ⅰ）設點，則， （1）　  1分

設線段的垂直平分線與相交于點，則，    2分
橢圓的右焦點，       3分
,， ，
， （2）             4分
由（1），（2），解得 ，點的橫坐標為．      5分
（Ⅱ）一般結論為：

“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直．”  6分
證明如下：
（ⅰ）當過點與橢圓相切的一條切線的斜率
不存在時，此時切線方程為，
點在圓上 ，，
直線恰好為過點與橢圓相切的另一條切線
兩切線互相垂直．         7分
（ⅱ）當過點與橢圓相切的切線的斜率存在時，
可設切線方程為，
由得 ，
整理得，     8分
直線與橢圓相切，
，
整理得，       9分
，          10分
點在圓上，， ，，兩切線互相垂直，
綜上所述，命題成立．         13分
解法二：
（Ⅰ）設點，則， （1）       1分
橢圓的右焦點，        2分
點在線段的垂直平分線上， ，
 ， ， （2）     4分
由（1），（2），解得， 點的橫坐標為．     5分
點評：主要是考查了橢圓的性質，以及直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。