Question

設x，y∈R，

i

、

j

，為直角坐標平面內x軸，y軸正方向上的單位向量，若向量

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點．設

OP

=

OA

+

OB

，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB為菱形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據向量模的公式以及坐標系內兩點間的距離公式，可得動點M（x，y）到定點F₁（0，-2）、F₂（0，2）的距離之和等于8（常數），由此結合橢圓的定義得到M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，可得軌跡C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為y=kx+3，將l方程與橢圓C消去y得關于x的方程，得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系及直線l方程得x₁+x₂=

-18k

4+3k2

且y₁+y₂=

24

4+3k2

．再根據平行四邊形OAPB為菱形，得到|

OA

|=|

OB

|，利用向量模的公式化簡結合前面的等式可得關于k的方程，解之得k=0．由此可得存在直線y=3使得四邊形OAPB為菱形．

解答：解：（1）∵

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

∴|

a

|=

x2+(y+2)2

，|

b

|=

x2+(y-2)2

設F₁（0，-2），F₂（0，2），動點M（x，y），可得|

a

|、|

b

|分別表示點M到F₁、F₂的距離．
∵|

a

|+|

b

|=8，即M到F₁、F₂的距離之和等于8，
∴點M（x，y）的軌跡C是以F₁（0，-2），F₂（0，2）為焦點，長軸長為8的橢圓，
可得a=4，c=2，b²=a²-c²=12，
可得橢圓方程為

y2

16

+

x2

12

=1，即為點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）由于直線l過點（0，3），故
①當直線l為y軸時，A、B為橢圓的頂點，可得

OP

=

OA

+

OB

=

0

此時點P與原點重合，不符合題意；
②當直線l與x軸不垂直時，設方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

消去y，得（4+3k²）x²+18kx-21=0
此時△=（18k）²-4（4+3k²）•（-21）=576k²+336＞0恒成立
x₁+x₂=

-18k

4+3k2

，代入直線得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+6=

24

4+3k2

∵

OP

=

OA

+

OB

，∴四邊形OAPB是平行四邊形，
若四邊形OAPB是菱形，則|

OA

|=|

OB

|
∵

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）
∴x12+y12=x22+y22，化簡得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
 可得l的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

y1+y2

=-

-18k 4+3k2

24 4+3k2

=-

3k

4

解之得k=0，因此存在直線y=3，使得四邊形OAPB為菱形．

點評：本題給出向量關系式，求動點M的軌跡方程并討論菱形OAPB的存在性．著重考查了向量的坐標運算、橢圓的定義與標準方程和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．