Question

已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=

3

，BC=2，則二面角A-BC-D的大小為（　�。�

• A、arccos

  3

  3

• B、arccos

  1

  3

• C、

  π

  2

• D、

  2π

  3

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：由已知中三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=

3

，BC=2，取BC中點(diǎn)為E，連接AE、DE，易得到∠BED即為BCD和ABC所成二面角的平面角，解三角形DEA即可得到二面角A-BC-D的大�。�

解答： 解：取BC中點(diǎn)為E，連接AE、DE，則BCD和ABC所成二面角即為求∠BED，
∵AB=AC=

3

，
∴△ABC為等腰三角形；
∵E為BC中點(diǎn)；
∴AE⊥BC，BE=

1

2

BC=1；
在直角△ABE中，由勾股定理得 AE²=AB²-BE²；
∴AE=

2

；
∵三個(gè)側(cè)面和底面ABC全等；∴DE=AE=

2

；
∵△DBC≌△ABC；∴DB=AB=

3

；
又∵△ABC≌△BAD；
∴AD=BC=2；所以△ABE的三邊AE=DE=

2

、AD=2； AE²+DE²=AD²；
所以AE⊥DE；∴∠DEA=

π

2

所以面BCD與面ABC所成二面角為

π

2

；
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，其中構(gòu)造出∠BED即為BCD和ABC所成二面角的平面角，將二面角問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，是解答本題的關(guān)鍵．