Question

【題目】已知圓，直線

（1）若直線與圓O交于不同的兩點A， B，當時，求k的值.

（2）若k=1，P是直線上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，問：直線CD是否過定點?若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.

（3）若EF、GH為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，)，求四邊形EGFH的面積的最大值

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點；（3）5．

【解析】

（1）當時，為等腰直角三角形，求出點到的距離，然后求解即可；

（2）設，由題意可知：、、、四點共圓且在以為直徑的圓上，該圓的方程為，利用、在圓上，求出公共弦所在直線的方程，利用直線系求解即可；

（3）設圓心到直線、的距離分別為，，通過，求出面積表達式，然后求解最值．

解：（1）由題意，圓的圓心為，半徑，

有根據題意，當時，為等腰直角三角形，

∴圓心到直線的距離，

∴；

（2）由題意，直線，

設，由題意可知、、、四點共圓且在以為直徑的圓上，

其方程為，即，

又、在圓上，

由公共弦所在直線方程的求法可得，

直線的方程為，即，

由得，

直線過定點；

（3）設圓心到直線、的距離分別為，，

則，

，，

，

當且僅當即時，等號成立，

四邊形的面積的最大值為5．