Question

【題目】已知函數的圖象上有且僅有兩個不同的點關于直線的對稱點在的圖象上，則實數的取值范圍是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

求出直線關于直線對稱的直線的方程，然后將問題轉化為直線與函數的圖象有兩個交點，構造函數，將問題轉化為直線與函數的圖象有兩個交點，利用數形結合思想可求出實數的取值范圍.

直線關于直線對稱的直線的方程為，即，對應的函數為.

所以，直線與函數的圖象有兩個交點.

對于一次函數，當時，，且.

則直線與函數的圖象交點的橫坐標不可能為.

當時，令，可得，

此時，令.

當時，，當時，；當時，.

此時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

函數的極小值為；

當時，，當時，；當時，.

此時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

函數的極大值為.

作出函數和函數的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當或時，即當或時，直線與函數的圖象有兩個交點.

因此，實數的取值范圍是.

故答案為：.