Question

（本小題滿(mǎn)分13分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為，離心率，，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，橢圓C的方程是x²+=1. …………（4分）

    (Ⅱ)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+)²+y²=．

由解得即兩圓相切于點(diǎn)(1，0)．

因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是(1，0)．…………（6分）

事實(shí)上，點(diǎn)T(1，0)就是所求的點(diǎn)．證明如下：

當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T(1，0)．

若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k(x+)．

由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.

記點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則…………（9分）

又因?yàn)?sub>=(x₁-1, y₁), =(x₂-1, y₂),

·=(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1

=(k²+1) +(k²-1) + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T(1，0)．

所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1，0)滿(mǎn)足條件． …………（13分）