Question

如圖，在長方形ABCD中，AB=

3

，BC=1，E為線段DC上一動點，現將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內過點D作DK⊥AE，K為垂足，當E從D運動到C，則K所形成軌跡的長度為

 

．

Answer 1

分析：由圖形的翻折過程知，若連接D'K，則D'KA=90°，故K點的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧，易知此圓半徑是

1

2

，求得此弧所對的圓心角的弧度數，利用弧長公式求出軌跡長度．

解答：解：由題意，將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內過點D作DK⊥AE，K為垂足，由翻折的特征知，連接D'K，則D'KA=90°，故K點的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧，易知此圓半徑是

1

2

，
如圖當E與C重合時，AK=

1×1

4

=

1

2

，取O為AD′的中點，則△OAK是正三角形．
故∠K0A=

π

3

∴∠K0D'=

2π

3

其所對的弧長為

2π

3

× 

1

2

=

π

3

故答案為：

π

3

．

點評：本題考查多面體與旋轉體表面上的最短距離問題，解題的關鍵是由題意得出點K的軌跡是圓上的一段弧，翻折問題中要注意位置關系與長度等數量的變與不變．本題比較抽象，考查了空間想像能力及根據所給的條件及圖形位置關系進行推理論證的能力．