Question

如圖，已知圓C與y軸相切于點T(0，2)，與x軸正半軸相交于兩點M，N  (點M在點N的右側），且。橢圓D：的焦距等于，且過點

( I ) 求圓C和橢圓D的方程；
(Ⅱ) 若過點M的動直線與橢圓D交于A、B兩點，若點N在以弦AB為直徑的圓的外部，求直線斜率的范圍。

Answer 1

（1），
（2）

試題分析：）解：（1）設圓半徑為r, 由條件知圓心C（r,2）

∵圓在x軸截得弦長MN=3
∴ ∴r=
∴圓C的方程為：  （3分）
上面方程中令y=0,得 解得x=1或x="4," ∵點M在點N的右側
∴M（4,0）,N(1,0)
∵橢圓焦距2c=2=2  ∴c=1   ∴橢圓方程可化為：
又橢圓過點（ 代入橢圓方程得：
解得或（舍）   ∴橢圓方程為：           （6分）
（2）設直線l的方程為：y="k(x-4)" 代入橢圓方程化簡得：
（
△=32＞0       ＜
設A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)      則x₁+x₂=   x₁x₂=       (7分)
∵點N在以弦AB為直徑的圓的外部，＞0
∴（＞0
即：＞0
-（+＞0
化簡得：＞        ∴＜＜    ∴k∈       
點評：主要是考查了圓的方程，以及橢圓性質的運用，并聯立方程組設而不求的數學思想的運用，屬于中檔題。