Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，M是直線l：x=3上的動點，過點F（1，0）作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點P（m，n）．則m，n滿足的關系式為

m²+n²=3

．

Answer 1

分析：設點M（3，k），則由PF⊥OM可得

n-0

m-1

•

k-0

3-0

=-1，化簡可得 nk=3-3m ①．再由題意可得△OPM為直角三角形，故由勾股定理可得OP²+PM²=OM²，化簡可得 2m²+2n²-6m-2nk=0 ②．再把①代入②化簡可得結果．

解答：解：設點M（3，k），則由PF⊥OM可得

n-0

m-1

•

k-0

3-0

=-1，
化簡可得 nk=3-3m ①．
再由直徑對的圓周角為直角，可得OP⊥PM，△OPM為直角三角形，故由勾股定理可得
OP²+PM²=OM²，即 m²+n²+（m-3）²+（n-k）²=3²+k²．
化簡可得 2m²+2n²-6m-2nk=0 ②．
再把①代入②化簡可得 m²+n²=3，
故答案為 m²+n²=3．

點評：本題主要考查兩條直線垂直的性質，直線和圓相交的性質，屬于中檔題．