Question

【題目】全體非負整數0，1，2，…，按其自然順序組成一個小數 456 789 101 112 131 415 161 718 19 ….問：是否為無理數？證明你的結論.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

是無理數.

首先，由自然數有無窮多知為無限小數，只須正明其不是循環小數（用反證法）.

若不然，設為有理數，即為無限循環小數，記是第1個最短循環節，而這個循環節之前是一個位小數0.，有.

由的構成，知，且，，…，不全相等.特別地，，，…，不能全是9.

現將循環節接長，使其數碼的個數超過，即取，找出由個循環節組成的自然數，并在中找出的原始位置.

由，知該位置一定出現在的后面，即.

考慮的后繼自然數.

一方面，由中的各個數碼不全為9，知仍由個數碼組成，即

，

無論是否進位，個位數都不會等于.

另一方面，由循環小數知的后面個數不變，產生矛盾：.

所以，必為無理數.