Question

（本小題滿分12分）
醫生的專業能力參數K可有效衡量醫生的綜合能力，K越大，綜合能力越強，并規定：能力參數K不少于30稱為合格，不少于50稱為優秀，某市衛生管理部門隨機抽取300名醫生進行專業能力參數考核，得到如圖所示的能力參數K的頻率頒布直方圖：

（1）求這個樣本的合格率、優秀率，并估計能力參數K的平均值；
（2）現用分層抽樣的方法從中抽出一個樣本容量為20的樣本，再從這20名醫生中隨機選出2名。
①求這2名醫生的能力參數K為同一組的概率；
②設這2名醫生中能力參數K為優秀的的人數為X，求隨機變量X的分布列和期望。

Answer 1

（1）各組的頻率依次為0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
這個樣本的合格率為1－0.2=0.8，優秀率為0.15+0.1+0.05=0.3。
能力參數K的平均值為25×0.2+35×0.3+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.05="43."
（2）分布列為

X	0	1	2
P

的期望值.

本試題主要是考查了頻率分布直方圖的運用，以及組合數的運用，和古典概型概率的計算，以及分布列的求解和運用。
（1）根據圖可知各組的頻率依次為0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
這個樣本的合格率為1－0.2=0.8，優秀率為0.15+0.1+0.05=0.3。
能力參數K的平均值為25×0.2+35×0.3+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.05="43"
（2）用分層抽樣抽出的樣本容量為20的樣本中，各組人數依次為4,6,4,3,2,1.
從20名醫生中隨機選出2名的方法數為
選出的2名醫生的能力參數K為同一組的方法數為
故這2名醫生的能力參數K為同一組的概率 
②20名醫生中能力參數K為優秀的有6人，不是優秀的有14人。
依題意，X的所有可能取值為0，1，2，，以及各個取值的概率值，得到分布列和期望值的求解。
解：（1）各組的頻率依次為0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
這個樣本的合格率為1－0.2=0.8，優秀率為0.15+0.1+0.05=0.3。
能力參數K的平均值為25×0.2+35×0.3+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.05=43.………3分
（2）①用分層抽樣抽出的樣本容量為20的樣本中，各組人數依次為4,6,4,3,2,1.
從20名醫生中隨機選出2名的方法數為
選出的2名醫生的能力參數K為同一組的方法數為
故這2名醫生的能力參數K為同一組的概率…………………………6分
②20名醫生中能力參數K為優秀的有6人，不是優秀的有14人。
依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則
……………10分
的分布列為

X	0	1	2
P

的期望值.……………………………………12分